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<!DOCTYPE html>

<title>Schwach-kompakter Operator</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schwach-kompakter Operator</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Schwach-kompakte Operatoren werden in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">linearer</a> <a href="Beschr%C3%A4nkter_Operator" title="Beschränkter Operator">beschränkter Operatoren</a> zwischen <a href="Banach-Raum" class="mw-redirect" title="Banach-Raum">Banachräumen</a> mit einer zusätzlichen Kompaktheitseigenschaft, die den <a href="Kompakter_Operator" title="Kompakter Operator">kompakten Operatoren</a> nachempfunden ist. Diese Begriffsbildung spielt eine wichtige Rolle in der <a href="Dunford-Pettis-Eigenschaft" title="Dunford-Pettis-Eigenschaft">Dunford-Pettis-Eigenschaft</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> Banachräume. Ein linearer Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> heißt schwach-kompakt, wenn für jede <a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">beschränkte</a> Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/080aa9d8ad677f39112410db460eb88e5cf6ec7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset X}" loading="lazy"> der <a href="Schwache_Topologie" title="Schwache Topologie">schwache</a> Abschluss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {T(B)}}^{w}}">

<msup>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {T(B)}}^{w}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d26ff49a8e4624572c1681c2c118c323511b5827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.734ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {T(B)}}^{w}}" loading="lazy"> des Bildes schwach kompakt ist.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Ersetzt man in dieser auf <a href="Shizuo_Kakutani" title="Shizuo Kakutani">S. Kakutani</a> und <a href="K%C5%8Dsaku_Yosida" title="Kōsaku Yosida">K. Yosida</a> zurückgehenden Definition die schwache Topologie durch die <a href="Normtopologie" title="Normtopologie">Normtopologie</a>, so erhält man genau den Begriff des kompakten Operators.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Für einen linearen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> zwischen Banachräumen gilt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> kompakter Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow \,T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83c04424f5e700b8a3160edd57a0fcbd16af6ece.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.992ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \,T}" loading="lazy"> schwach-kompakter Operator<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow \,T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83c04424f5e700b8a3160edd57a0fcbd16af6ece.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.992ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \,T}" loading="lazy"> beschränkter Operator.

Die Umkehrungen gelten nicht, wie die identischen Operatoren auf den <a href="Folgenraum" title="Folgenraum">Folgenräumen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1156e1c2220628042b0fc51e0c73deb3b7c6d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91f1f909abd70bd3d8fff0f7ae1ac23052387e18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}}" loading="lazy"> zeigen.

<msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1266ac4f8b52ff8c07856b433b2b409d69d05827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{1}}}" loading="lazy"> ist beschränkt, aber nicht schwach-kompakt.</li>

<msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2842369b3161fc358f718b2739dd7b893e4d5f4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{2}}}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt, aber nicht kompakt.</li></ul>

Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> Banachräume, von denen mindestens einer

<a href="Reflexiver_Raum" title="Reflexiver Raum">reflexiv</a> ist, so ist jeder beschränkte lineare Operator zwischen ihnen schwach-kompakt.

Summen, skalare Vielfache und Norm-Grenzwerte schwach-kompakter Operatoren sind wieder schwach-kompakt. Ein Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ST}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ST}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f005b14acee2c831dea6a8bec3774f865fea11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.135ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ST}" loading="lazy"> beschränkter linearer Operatoren ist schwach-kompakt, wenn einer der Faktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> schwach-kompakt ist. Die Menge aller schwach-kompakten Operatoren zwischen den Banachräumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ist daher bezüglich der <a href="Operatornorm" title="Operatornorm">Operatornorm</a> wieder ein Banachraum. Im Falle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0b549c2e838e7da9dfd27fe4e1eac711331bdef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.852ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X=Y}" loading="lazy"> liegt ein abgeschlossenes <a href="Zweiseitiges_Ideal" class="mw-redirect" title="Zweiseitiges Ideal">zweiseitiges Ideal</a> in der <a href="Banachalgebra" title="Banachalgebra">Banachalgebra</a> aller beschränkten Operatoren auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> vor.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Charakterisierungen">Charakterisierungen</h2></div>

Der folgende einfache Satz charakterisiert die schwache Kompaktheit:

Für einen linearen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> zwischen Banachräumen sind

folgende Aussagen äquivalent:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(\{x\in X;\|x\|\leq 1\})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d4820f1b5019d34e8ff301d8a50af94658efc9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(\{x\in X;\|x\|\leq 1\})}" loading="lazy"> ist <a href="Relative_Kompaktheit" class="mw-redirect" title="Relative Kompaktheit">relativ schwach-kompakt</a>.</li>

<li>Jede beschränkte Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{n})_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{n})_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db535bd8b18bb7f5105d670ad27e611d1fa00694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{n})_{n}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> hat eine Teilfolge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{n_{m}})_{m}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{n_{m}})_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/702bd520aaae284ead570cfd7eef34b25981af5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{n_{m}})_{m}}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Tx_{n_{m}})_{m}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Tx_{n_{m}})_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b01e5b008c1c89bc295a7b4d39cd207d4f1d4d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Tx_{n_{m}})_{m}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> schwach konvergiert.</li></ul>

In der folgenden auf V. R. Gantmacher (für den Fall <a href="Separabler_Raum" title="Separabler Raum">separabler</a> Räume) und Nakamura (für den allgemeinen Fall) zurückgehenden Charakterisierung bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{X}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{X}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a82046065bdf68baa7fcc830071aeb10781f8446.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:2.617ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{X}}" loading="lazy"> die <a href="Bidualraum" class="mw-redirect" title="Bidualraum">kanonische Einbettung in den Bidualraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67b827334f818c61a8b86e5d1ea9a3203c8e074b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X''}" loading="lazy">.

Für einen linearen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt.</li>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T''(X'')\subset j_{Y}(Y)\subset Y''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c78a689ad03c4f5d23882f570acd7be7a97abcfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.062ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T''(X'')\subset j_{Y}(Y)\subset Y''}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Satz_von_Gantmacher">Satz von Gantmacher</h2></div>

In Analogie zum <a href="Satz_von_Schauder" class="mw-redirect" title="Satz von Schauder">Satz von Schauder</a> gilt der folgende

Satz von Gantmacher:<a href="#cite_note-3">[3]</a> Für einen linearen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt.</li>

<li>Der <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierte</a> Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89ac01c17e6f4f87d47c840269d136d56e332a46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt.</li></ul>

Daraus kann man eine weitere Charakterisierung herleiten:

Für einen linearen Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist schwach-kompakt.</li>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89ac01c17e6f4f87d47c840269d136d56e332a46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}" loading="lazy"> ist <a href="Schwach-*-Topologie" title="Schwach-*-Topologie">schwach*</a>-schwach-stetig.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Faktorisierung_über_reflexive_Räume">Faktorisierung über reflexive Räume</h2></div>

Man sagt, ein stetiger, linearer Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5cb7b871fd729fb510a8e00437f0aa980ff0493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> faktorisiert über einen Banachraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, falls es stetige lineare Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\colon X\rightarrow Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\colon X\rightarrow Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a262a34b9f072083a8e0e1650606a8c55145fa67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S\colon X\rightarrow Z}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\colon Z\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\colon Z\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c94caf5ba1ad76966c9988db88631b02b98917ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.866ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\colon Z\rightarrow Y}" loading="lazy"> gibt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=R\circ S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=R\circ S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3151ee0041dd8097e176ceb51a2e39a1f67f039.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.193ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=R\circ S}" loading="lazy">. Da ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen, von denen einer reflexiv ist, nach obigen Eigenschaften schwach-kompakt ist und da Produkte von stetigen linearen Operatoren bereits dann schwach-kompakt sind, wenn mindestens ein Faktor schwach-kompakt ist, muss bereits jeder stetige, lineare Operator, der über einen reflexiven Raum faktorisiert, schwach-kompakt sein. Nach einem Satz von Davis, Figiel, <a href="William_B._Johnson_(Mathematiker)" title="William B. Johnson (Mathematiker)">Johnson</a> und <a href="Aleksander_Pe%C5%82czy%C5%84ski" title="Aleksander Pełczyński">Pełczyński</a> gilt hiervon auch die Umkehrung, das heißt, man hat insgesamt die folgende Charakterisierung schwach-kompakter Operatoren:<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>

<ul><li>Ein stetiger, linearer Operator ist genau schwach-kompakt, wenn er über einen reflexiven Banachraum faktorisiert. Dabei können die Normen der Faktoren durch das Doppelte der Norm des Ausgangsoperators begrenzt werden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schwach-kompakte_Operatoren_auf_C(K)">Schwach-kompakte Operatoren auf C(K)</h2></div>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein kompakter <a href="Hausdorffraum" class="mw-redirect" title="Hausdorffraum">Hausdorffraum</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(K)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b823cba8d0220d7bd670bace88a3fe7fd07e6659.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.642ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(K)}" loading="lazy"> sei der <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenraum</a> der stetigen Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\rightarrow \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\rightarrow \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0f243d39a1a9e32cc27fa7c8e514bb89507c555.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.358ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K\rightarrow \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit der <a href="Supremumsnorm" title="Supremumsnorm">Supremumsnorm</a>. Dann lassen sich die schwach-kompakten Operatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ca17397348ab81e02f169b9ddb6753339e5e1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}" loading="lazy"> mit Werten in einem Banachraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> wie folgt angeben:<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ein reguläres, <a href="Vektorielles_Ma%C3%9F" title="Vektorielles Maß">vektorielles Maß</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> (mit der <a href="Borelsche_%CF%83-Algebra" title="Borelsche σ-Algebra">borelschen σ-Algebra</a>) mit Werten in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Regularität bedeutet hier, dass die skalaren Maße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \circ \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \circ \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8927d969788ed4551d5faa718aea174813ef29d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.117ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi \circ \mu }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \in X'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \in X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa41a7bbaba1963c659b4510fff62aec38de3a22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.042ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi \in X'}" loading="lazy"> <a href="Regul%C3%A4res_Ma%C3%9F" title="Reguläres Maß">regulär</a> sind.

Dann ist durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\mu }f:=\int _{K}f\mathrm {d} \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad5ed868ad959645917c5ef86e7e90efada8ab49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.95ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{\mu }f:=\int _{K}f\mathrm {d} \mu }" loading="lazy"></dd></dl>

ein schwach-kompakter Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cd5cad98691b2331a0f8876f86394112ab6899b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.851ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}" loading="lazy"> gegeben. Die Operatornorm von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cadd8315f3f1ee9a23d5b434ba543124bc93e6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{\mu }}" loading="lazy"> ist gleich der <a href="Semivariation" class="mw-redirect" title="Semivariation">Semivariation</a> des Maßes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">.

Umgekehrt hat jeder schwach-kompakte Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ca17397348ab81e02f169b9ddb6753339e5e1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}" loading="lazy"> diese Gestalt, das heißt, es gibt ein reguläres vektorielles Maß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> mit Werten in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, so dass der Operator durch obige Formel beschrieben wird, das heißt, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=T_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6f49c02aa8052ca65e61d8ffed0cabb0f5c1f27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=T_{\mu }}" loading="lazy">.

So ein schwach-kompakter Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cd5cad98691b2331a0f8876f86394112ab6899b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.851ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}" loading="lazy"> ist genau dann kompakt, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\mu (A)|A\subset K{\text{ Borel-messbar}}\}\subset X}">

</mrow>

<mtext> Borel-messbar</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\mu (A)|A\subset K{\text{ Borel-messbar}}\}\subset X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/746fe9460fbca15263079d270d8b833cbb31621a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.833ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\mu (A)|A\subset K{\text{ Borel-messbar}}\}\subset X}" loading="lazy"> relativ kompakt ist.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Damit konstruiert man leicht weitere Beispiele schwach-kompakter Operatoren, die nicht kompakt sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 3.5.1

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.8

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.13

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> W. J. Davis, T. Figiel, W. B. Johnson, A. Pełczyński: Factoring weakly compact operators. J. Functional Analysis (1974), Band 17 No. 3, S. 311–327.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> P. Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts. Cambridge University Press 1991, ISBN 0-521-35618-0, II.C.5

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.25

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.27

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>